色々と不満はあったのですが、データ移行は気力でだいたい完了!
でも、SearchConsoleがエラー表示になってしまいました。

エラーメッセージは
「このプロパティにアクセスできません。このプロパティを確認するか、プロパティ所有者にユーザーとして追加するよう依頼してください。」
サムネイル画像にも「未確認」と表示されています。
とりあえず、エラーメッセージに表示されている「このプロパティを確認」をくりっくするか、サムネイル画像をクリックします。
エラー情報として
「メタタグを使用してXXXを確認できませんでした。確認メタタグが見つかりません」
と表示されていました。
これまでのGoogleサイトでは、ヘッダ情報としてSearchConsole用のタグを記載していたのですが、新しいGoogleサイトにはそのタグは引き継がれていないようです。
いままでは「おすすめの方法」で指定されていたので、その設定を使用していたのですが、新しいGoogleサイトでは、この設定をする場所が見つけられませんでした。
そこで「別の方法タブ」から「Googleアナリティクス」を選択しました。

Googleアナリティクスは元のGoogleサイトと新しいGoogleサイトで情報が引き継がれています。

無事、所有権の確認ができたとのメッセージが表示されました。

Home画面でも、エラー表示が消えました♪
すでにGoogleアナリティクスを使用してサイト運営を行っていた場合、この方法が簡単なのではないかなと思います。
もしアナリティクスの情報が引き継がれていない場合は、新しいGoogleサイトで「サイト分析」の設定を行うことで、この方法が使えると思います。